已知正项等比数列{an}满足2a5=a7-a6，且存在两项an，am满足anam=4a1，则4n+1m的最小值为A．256B．53C．32D．23

题文

已知正项等比数列{a_n}满足2a₅=a₇-a₆，且存在两项a_n，a_m满足anam=4a1，则4n+1m的最小值为（ ）A．256B．53C．32D．23 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵正项等比数列{a_n}满足2a₅=a₇-a₆，∴2a5=a5q2-a5q，q＞0，化为q²-q-2=0，解得q=2．
∵存在两项a_n，a_m满足anam=4a1，∴a1qn-1a1qm-1=4a₁，化为2^n+m-2=2⁴，∴n+m=6．
∴4n+1m=16（n+m）(4n+1m)=16（5+nm+4mn）≥16(5+2nm×4mn)=32．当且仅当nm=4mn，m+n=6即m=2，n=4时取等号．
∴4n+1m的最小值为32．
故选C．

解析

anam

考点

据考高分专家说，试题“已知正项等比数列{an}满足2a5=a7.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。