数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，n•an+1=Sn．证明数列{Snn}是公比为2的等比数列；求Sn关于n

题文

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，n•a_n+1=（n+2）S_n（n=1，2，3…）．
（1）证明数列{Snn}是公比为2的等比数列；
（2）求S_n关于n的表达式．
（3）请猜测是否存在自然数N₀，对于所有的n＞N₀有S_n＞2007恒成立，并证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a_n+1=S_n+1-S_n，
由已知a_n+1=n+2nS_n，∴n+2nS_n=S_n+1-S_n，
（n+2）S_n=nS_n+1-nS_n，2（n+1）S_n=nS_n+1，
Sn+1n+1=2Snn．又S11=a11=1，
∴{Snn}是以1为首项，2为公比的等比数列
（2）∵Snn=1•2^n-1=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1．
（3）猜测：存在N₀=8，当n＞8时有S_n＞2007恒成立
∵Sn+1Sn=(n+1)•2nn•2n-1=2(n+1)n＞1，
∴{S_n}为递增数列，
∴存在N₀=8，对所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立

解析

n+2n

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。