已知数列{an}是首项a1=12，公比为12的等比数列，sn为数列{an}的前n项和，又bn+5loglog2(1-sn)=t，常数t∈N*，数列{Cn}满足c

题文

已知数列{a_n}是首项a₁=12，公比为12的等比数列，s_n为数列{a_n}的前n项和，又b_n+5loglog2 (1-sn)=t，常数t∈N^*，数列{C_n}满足cn=an×b_n．
（Ⅰ）若{c_n}是递减数列，求t的最小值；
（Ⅱ）是否存在正整数k，使c_k，c_k+1，c_k+2这三项按某种顺序排列后成等比数列？若存在，试求出k，t的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意知，a_n=(12)n，∴S_n=12[1-(12)n]1-12=1-(12)n，
∴b_n=t-5log₂（1-S_n）=t-5log₂(12)n=5n+t，∴c_n=（5n+t）(12)n，
∴{c_n}是递减数列，
∴c_n+1-c_n=（5n+5+t2-5n-t）(12)n＜0恒成立，即t＞-5n+5恒成立，
∴f（n）=-5n+5是递减函数，∴当n=1时f（n）取最大值0，
∴t＞0，又t∈N^*，∴t_min=1．                                   …（6分）
（Ⅱ）记5k+t=x，则c_k=（5n+t）（12）^k=x（12）^k，且x∈N^*，
∴c_k+1=（5k+5+t）（12）^k+1=（x+5）（12）^k+1，c_k+2=（5k+10+t）（12）^k+2=（x+10）（12）^k+2，
①若c_k是等比中项，则由c_k+1•c_k+2=c_k²得：
（x+5）（12）^k+1•（x+10）（12）^k+2=x²（12）^k+2，化简得：7x²-15x-50=0，显然不成立．
②若c_k+1是等比中项，则由c_k•c_k+2=c_k+1²得：
x（12）^k•（x+10）（12）^k+2=（x+5）²（12）^2k+2，化简得：x（x+10）=（x+5）²，显然不成立．
③若c_k+2是等比中项，则由c_k•c_k+1=c_k+2²得：
（x+5）（12）^k+1•x（12）^k=（x+10）²（12）^2k+4，化简得：7x²+20x-100=0，
因为△=20²+4×7×100=32×100不是完全平方数，因而x的值是无理数，与x∈N^*矛盾．
综上：不存在k和t适合题意．…（12分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项a1=12，公比为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。