已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1．求证：{an+1+2an}是等比数列；求数列{an}的通项公式；

题文

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2）．
（1）求证：{a_n+1+2a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|++|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1，a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1）（n≥2）
∵a₁=5，a₂=5∴a₂+2a₁=15
故数列{a_n+1+2a_n}是以15为首项，3为公比的等比数列（5分）
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=5•3ⁿ由待定系数法可得（a_n+1-3ⁿ⁺¹）=-2（a_n-3ⁿ）
即a_n-3ⁿ=2（-2）^n-1故a_n=3ⁿ+2（-2）^n-1=3ⁿ-（-2）ⁿ（9分）
（3）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n）=n[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n（-2）ⁿ，
∴b_n=n（-23）ⁿ
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=（-23）+2（23）²+3（23）³+…+n（23）ⁿS_n
=（23）²+2（23）³+…+（n-1）（23）ⁿ+n（23）ⁿ⁺¹（11分）
得S_n=+（23）²+（23）³+…+（23）ⁿ-n（23）ⁿ⁺¹
=23[1-(23)n]1-23-n（23）ⁿ⁺¹
=2[1-（23）ⁿ]-n（23）ⁿ⁺¹
∴S_n=6[1-（23）ⁿ]-3n（23）ⁿ⁺¹＜6
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，只须m≥6（14分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=5，a2=5，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。