数列{an}中，a1=a，an+1=can+1-ca、c∈R，c≠0求证：a≠1时，{an-1}是等比数列，并求{an}通项公式．设a=

题文

数列{a_n}中，a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*）a、c∈R，c≠0
（1）求证：a≠1时，{a_n-1}是等比数列，并求{a_n}通项公式．
（2）设a=12，c=12，b_n=n（1-a_n）（n∈N^*）求：数列{b_n}的前n项的和S_n．
（3）设a=34、c=-14、cn=3+an2-an．记d_n=c_2n-c_2n-1，数列{d_n}的前n项和T_n．证明：Tn＜53（n∈N^*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：∵a_n+1=ca_n+1-c，∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1时，{a_n-1}等比数列．
∵a₁-1=a-1，∴an-1=(a-1)cn-1，∴an=(a-1)cn-1+1
（2）由（1）可得an=-12(12)n-1+1=-(12)n+1
∴bn=n•(12)n
∴S_n=1•12+2•(12)2+…+n•(12)n
∴12S_n=1•(12)2+2•(12)3+…+(n-1)•(12)n+n•(12)n+1
两式相减可得12S_n=12+(12)2+(12)3+…+(12)n-n•(12)n+1=1-n+22n+1
∴Sn=2-n+22n
（3）证明：Cn=4+5(-4)n-1，
dn=25×16n(16n-1)(16n+4)=25×16n(16n)2+3×16n-4＜25×16n(16n)2＜2516n
∴Tn=d1+d2+…+dn＜25(116+1162+1163+…+116n)=25×116(1-(116)n)1-116=53(1-116n)＜53

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=a，an+1=ca.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。