在数列{an}中，a1=1，an+an+1=3n．设bn=an-14×3n求证：数列{bn}是等比数列求数列{an}的前n项的和设T2n=1a

题文

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设bn=an-14×3n
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设T2n=1a1+1a2+1a3+1a4…+1a2n，求证：T_2n＜3． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，
得an+1=14×3n+1=-(an-14×3n)，
即bn+1=-bn•b1=a1-34=14．
∴数列{b_n}是首项为14，公比为-1的等比数列．
（2）由bn=14×(-1)n-1，
得an-14× 3n =14×(-1)n-1，
an=14×3n+14×(-1)n-1=14×[3n+(-1) n-1]
S_n=[3+3²+3³+…+3ⁿ+（-1）⁰+（-1）¹+（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]
=14[3n+1-32+1+(-1)n+12]．
证明：（3）T2n=1a1+1a2+1a3+…+1a2n-1+1a2n
=4(13+1+13 2-1+13 3+1+13 4-1…+13 2n-1+1+13 2n-1)
=4[(13+1+13 3+1+…+13 2n-1+1)+(13 2-1+13 4-1+…+13 2n-1)]
＜4[(13+13 3+…+13 2n-1)+(13 2-1+13 4-1+…+13 2n-1)]
∵3²ⁿ-1＞3^2n-1，（n∈N^*），
∴13 2n-1＜13 2n-1，(n∈N*)，
∴T2n＜8(13+13 2+…+13 2n-1)
=8×13(1-19n)1-19
=3（1-19n）＜3．

解析

14

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=1，an+an+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。