等比数列{cn}满足cn+1+cn=10•4n-1，n∈N*，数列{an}满足cn=2an求{an}的通项公式；数列{bn}满足bn=1an•an+

题文

等比数列{c_n}满足cn+1+cn=10•4n-1，n∈N^*，数列{a_n}满足cn=2an
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足bn=1an•an+1，T_n为数列{b_n}的前n项和．求limn→∞Tn；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得，c₁+c₂=10，c₂+c₃=c₁q+c₂q=40，
所以公比q=4（2分）
∴c₁+4c₁=10
∴c₁=2（3分）
由等比数列的通项公式可得，cn=2•4n-1=22n-1（4分）
∵cn=2an=2^2n-1
∴a_n=2n-1（15分）
（2）∵bn=1an•an+1=1(2n-1)(2n+1)
∴bn=12(12n-1-12n+1)（6分）
于是Tn=12[(1-13)+(13-15)+…+(12n-1-12n+1)]=n2n+1（8分）
∴limn→∞Tn=12（10分）
（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列，
则(m2m+1)2=13•n2n+1，（12分）
可得3n=-2m2+4m+1m2＞0，
由分子为正，解得1-62＜m＜1+62，
由m∈N^*，m＞1，得m=2，此时n=12，
当且仅当m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．             （16分）
说明：只有结论，m=2，n=12时，T₁，T_m，T_n成等比数列．若学生没有说明理由，则只能得 13分

解析

1an•an+1

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{cn}满足cn+1+cn=10.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。