在数列an中，已知a1=1，an=2an-1+n-2，n∈N*，n≥2．求证：数列an+n是等比数列；求数列{an2n}的前n项和为Sn．

题文

在数列a_n中，已知a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2，n∈N^*，n≥2．
（1）求证：数列a_n+n是等比数列；     （2） 求数列{an2n}的前n项和为S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n=2a_n-1+n-2，
∴a_n+n=2（a_n-1+n-1）    
∴数列{a_n+n}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）有（1）知：a_n+n=2ⁿ即：a_n=2ⁿ-n，
∴an2n=1-n2n
∴Sn=(1-12)+(1-222)+(1-323)+…+(1-n2n)=n-(121+222+323+…+n 2n)
令Tn=121+222+322+…+n2n①
则12Tn=121+(122+123+…+ 12n)-n2n+1②
①-②得：
12Tn=121+(122+123+…+12n)-n2n+1=12[1-(12)n]1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1．
∴Tn=2-12n+1-n2n，
∴Sn=n-2+12n+1+n2n．

解析

an2n

考点

据考高分专家说，试题“在数列an中，已知a1=1，an=2an.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。