数列{an}满足4a1=1，an-1=[nan-1-2]an，试判断数列{1an+n}是否为等比数列，并证明；设an2∙b

题文

数列{a_n}满足4a₁=1，a_n-1=[（-1）ⁿa_n-1-2]a_n（n≥2），
（1）试判断数列{1an+（-1）ⁿ}是否为等比数列，并证明；
（2）设a_n²∙b_n=1，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）数列{1an+（-1）ⁿ}是等比数列，证明如下
由1an=(-1)n-2an-1[1an+(-1)n]=-2[1an-1-(-1)n-1]
即 1an+(-1)n1an-1+(-1)n-1=-2(n∈N*且n≥2)
∵a₁=14
∴1a1-1=3
另：1an+(-1)n1an-1+(-1)n-1=(-1)nan-1-2an-1+(-1)n1an-1+(-1)n=2(-1)nan-1-2(-1)nan-1+1=-2
∴{1an+(-1)n}是首项为3公比为-2的等比数列
则1an+(-1)n=3(-2)n-1∴1an=3(-2)n-1+(-1)n-1
（2）由an2bn=1
∴bn=1an2=9•4n-1+6•2n-1+1
∴Sn=(9•40+9•4+…+9•4n-1)+6（2⁰+2+2²+…+2^n-1）+（1+1+…+1）
∴Sn=9(4n-1)4-1+6(2n-1)2-1+n=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9（n∈N^*）

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足4a1=1，an-1=[.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。