已知递增数列{an}满足：a1=1，2an+1=an+an+2，且a1，a2，a4成等比数列求数列{an}的通项公式an．若数列{bn}

题文

已知递增数列{a_n}满足：a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺），且a₁，a₂，a₄成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）若数列{b_n}满足：b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，且b₁≥1，n∈N⁺
①用数学归纳法证明：b_n≥a_n
②记Tn=13+b1+13+b2+13+b3+…+13+bn，证明：Tn＜12． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁=1，2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N⁺）
∴数列{a_n}是以1为首项的等差数列，设公差为d，由数列递增可知d＞0
∵a₁，a₂，a₄成等比数
∴（1+d）²=1+3d
∴d=0（舍）或d=1
∴a_n=1+n-1=n
证明：（2）①∵b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，且b₁≥1，
（i）当n=1时，b₁≥1=a₁成立
（ii）假设当n=k（k≥1）时成立，即b_k≥a_k=k
∴b_k+1≥k+1=a_k+1
当n=k+1时，b_k+1=bk2-（k-2）b_k+3，
∴b_k+1-a_k+1=b_k+1-（b_k+1）=bk2-(k-1)bk+2＞k²-k（k-1）+2＞0
∴b_k+1≥a_k+1
综上可证得，对于任意的正整数n，b_n≥a_n都成立
②∵b_n+1=b_n²-（n-2）b_n+3，∴13+bn+3=1bn2-(n-2)bn+6，
b_n²-（n-2）b_n+6=b_n（b_n+2-n）+6≥2b_n+6=2（b_n+3），（∵bn≥n）
∴1bn+1+3≤12•1bn+3，
∴Tn=13+b1+13+b2+13+b3+…+13+bn≤13+b1+12•13+b1+12•13+b2+…+12•13+bn-1…①
∴-12Tn=-12•13+b1-12•13+b2-12•13+b3-…-12•13+bn…②，
①+②可得12•Tn≤13+b1-12•13+bn-1，
12•Tn≤13+b1≤14，
∴Tn≤12．
∴Tn=13+b1+13+b2+13+b3+…+13+bn＜12

解析

13+bn+3

考点

据考高分专家说，试题“已知递增数列{an}满足：a1=1，2a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。