已知函数f=x2+b在x=2处有极大值．求a的值；若过原点有三条直线与曲线y=f相切，求b的取值范围；当x∈[-2，4]

题文

已知函数f（x）=x（x-a）²+b在x=2处有极大值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；
（Ⅲ）当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x²的下方，求b的取值范围 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）f（x）=x（x-a）²+b=x³-2ax+a²x+b，
f'（x）=3x²-4ax+a²，
f'（2）=12-8a+a²=0，解得a=2，a=6，
当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；
当a=6时，f'（x）=3x²-24x+36=3（x-2）（x-6），函数在x=2处取得极大值，符合题意，
∴a=6．
（Ⅱ）f（x）=x³-12x²+36x+b，
设切点为（x₀，x₀³-12x₀²+36x₀+b），则切线斜率为f'（x）=3x₀²-24x₀+36，切线方程为
y-x₀³+12x₀²-36x₀-b=（3x₀²-24x₀+36）（x-x₀），
即y=（3x₀²-24x₀+36）x-2x₀³+12x₀²+b，
∴-2x₀³+12x₀²+b=0
∴b=2x₀³-12x₀²．
令g（x）=2x³-12x²，则g'（x）=6x²-24x=6x（x-4），
由g'（x）=0得，x₁=0，x₂=4．
函数g（x）的单调性如下：


∴当-64＜b＜0时，方程b=g（x）有三个不同的解，过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切．
（Ⅲ）∵当x∈[-2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x-9x²的下方，
∴x³-12x²+36x+b＜1+45x-9x²在x∈[-2，4]时恒成立，
即b＜-x³+3x²+9x+1在x∈[-2，4]时恒成立．
令h（x）=-x³+3x²+9x+1，则h'（x）=-3x²+6x+9=-3（x-3）（x+1），
由h'（x）=0得，x₁=-1，x₂=3．
∵h（-2）=3，h（-1）=-4，h（3）=28，h（4）=21，
∴h（x）在[-2，4]上的最小值是-4，b＜-4．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x（x-a）2+b在x.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。