设数列{an}满足：a1=5，an+1+4an=5，是否存在实数t，使{an+t}是等比数列？设数列bn=|an|，求{bn}的前201

题文

设数列{a_n}满足：a₁=5，a_n+1+4a_n=5，（n∈N^*）
（I）是否存在实数t，使{a_n+t}是等比数列？
（Ⅱ）设数列b_n=|a_n|，求{b_n}的前2013项和S₂₀₁₃． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）由a_n+1+4a_n=5，得a_n+1=-4a_n+5，
令a_n+1+t=-4（a_n+t），…（2分）
得a_n+1=-4a_n-5t，则-5t=5，∴t=-1…（4分）
∴a_n+1-1=-4（a_n-1），
又a₁=5，∴a₁-1=4，∴{a_n-1}是首项为4，公比为-4的等比数列，
∴存在这样的实数t=-1，使{a_n+t}是等比数列．…（6分）
（II）由（I）得a_n-1=4•（-4）^n-1，∴a_n=1+4•（-4）^n-1．…（7分）
∴b_n=|a_n|=

解析

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}满足：a1=5，an+1+.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。