某学校餐厅每天供应2000名学生用餐，每周一有A，B两种菜可供选择，调查统计表明，凡事在这周一选A种菜的，下周一会有百分之二十改选B；而选B种菜的，下周一会有百

题文

某学校餐厅每天供应2000名学生用餐，每周一有A，B两种菜可供选择，调查统计表明，凡事在这周一选A种菜的，下周一会有百分之二十改选B；而选B种菜的，下周一会有百分之三十改选A．用a_n，b_n分别表示在第n周星期一选A的人数和选B的人数，且a₁≠1200．
（1）证明：数列{a_n-1200}为等比数列；
（2）若第1周周一选A的人数为1600人，则第5周星期一选A的人数为多少？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，得：a_n+1=0.8a_n+0.3b_n；
因为a_n+b_n=2000，
有a_n+1=600+0.5a_n．
证明：an+1-1200an-1200=0.5an-600an-1200=12，
又a₁-1200≠0，
则{a_n-1200}是以12为公比的等比数列．
（2）若a₁=1600，则{a_n-1200}是以400为首项，12为公比的等比数列，
有an-1200=400•(12)n-1，
即an=1200+400•(12)n-1，
有a₅=1225．
答：第5周星期一选A种菜的人数为1225人．

解析

an+1-1200an-1200

考点

据考高分专家说，试题“某学校餐厅每天供应2000名学生用餐，每.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。