若数列{an}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是A．{lga2n}B．{2+an}C．{1an}D．{an}

题文

若数列{a_n}是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（ ）A．{lga2n}B．{2+a_n}C．{1an}D．{an} 题型：未知 难度：其他题型

答案

设等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，则a_n=a₁•q^n-1，
A、由a2n=a₁²•q^2（n-1）得，lga2n+1lga2n=lgan+1lgan=lga12q2nlga12q2(n-1)=lga12+lgq2nlga12+lgq2(n-1)
=lga12+nlgq2lga12+(n-1)lgq2不一定是常数，A不符合题意；
B、{a_n+2}可能有项为0，故不一定是等比数列，B符合题意；
C、利用等比数列的定义，可知{1an}的公比是原来公比的倒数，C符合题意；
D、当q＜0时，数列{a_n}存在负项，此时an无意义，D不符合题意；
故选C．

解析

a2n

考点

据考高分专家说，试题“若数列{an}是等比数列，则下列数列一定.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。