已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an-3n．证明数列{an+3}是等比数列，求出数列{an}的通项公式；设bn=n3an，求数

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n+3}是等比数列，求出数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=n3an，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：因为S_n=2a_n-3n，所以S_n+1=2a_n+1-3（n+1），
则a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，所以a_n+1=2a_n+3，
所以a_n+1+3=2（a_n+3），
因为n=1时，a₁=S₁=2a₁-3，所以a₁=3，所以a₁+3=6，
所以数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列；
所以a_n+3=6•2^n-1=3•2ⁿ，
所以a_n=3•2ⁿ-3；
（2）b_n=n3an=n•2ⁿ-n，则T_n=（1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ）-（1+2+…+n）
令T_n′=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，则2T_n′=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减可得-T_n′=1•2¹+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n′=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n(n+1)2．

解析

n3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。