已知数列{an}是首项为a1，各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2=4S4．求数列{an}的公比q；设bn=q+Sn，试问{bn}是

题文

已知数列{a_n}是首项为a₁，各项均为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且有5S₂=4S₄．
（1）求数列{a_n}的公比q；
（2）设b_n=q+S_n，试问{b_n}是否为等比数列？若是求出a₁的值；若不是说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若q=1，5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，不满足5S₂=4S₄，故q≠1…（2分）
由5S₂=4S₄得5a1(1-q2)1-q=4a1(1-q4)1-q，1+q2=54，q2=14，
∵a_n＞0，∴q=12…（5分）
（2）假设满足条件的等比数列{b_n}存在．
由（1）得Sn=a1[1-(12)n]1-12=2a1[1-(12)n]，∴bn=12+2a1[1-(12)n]，…（8分）
∵{b_n}是等比数列，∴b₁，b₂，b₃成等比数列，∴b22=b1b3
即(32a1+12)2=(a1+12)(74a1+12)，整理得4a21+a1=0，得a1=0或a1=-14…（11分）
这与数列{a_n}各项均为正数矛盾，故数列{b_n}不存在．…（12分）

解析

a1(1-q2)1-q

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是首项为a1，各项均为正.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。