是否存在一个等比数列{an},使其满足下列三个条件: (1)a1+a6=11且a3a4=;(2)an+1＞an(n∈N*);(3)至少存在一个m(m∈N*,m＞

题文

是否存在一个等比数列{a_n},使其满足下列三个条件:
(1)a₁+a₆=11且a₃a₄=

;
(2)a_n+1＞a_n(n∈N^*);
(3)至少存在一个m(m∈N^*,m＞4),使

a_m-1,

,a_m+1+

依次成等差数列.
若存在,写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵m＞4,∴不存在满足条件的等比数列.

解析

假设存在这样的数列{a_n}.
∵a₁+a₆=11,a₁a₆=a₃ a₄=

,
∴a₁、a₆是方程x²-11x+

=0的两根,解得x₁=

,x₂=

.
∵a_n+1＞a_n(n∈N^*),∴a₁=

,a₆=

.
设公比为q,则a₆=

=

q⁵,于是q=2.
∴a_n=

×2^n-1.
由

a_m-1,

,a_m+1+

依次成等差数列,得2

=

a_m-1+a_m+1+

,
即2×(

×2^m-1)²=

×

×2^m-2+

×2^m+

.
解得m=3.
又∵m＞4,∴不存在满足条件的等比数列.

考点

据考高分专家说，试题“是否存在一个等比数列{an},使其满足下.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。