数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (n∈N*).(1)求a3,a4,a5,a6的值；（2

题文

数列{a_n}中，a₁=2,a₂=3,且{a_na_n+1}是以3为公比的等比数列，记b_n=a_2n-1+a_2n (n∈N^*).
(1)求a₃,a₄,a₅,a₆的值；
（2）求证：{b_n}是等比数列. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₃=6，a₄=9，a₅=18，a₆=27.（2）证明见解析

解析

（1）解 ∵{a_na_n+1}是公比为3的等比数列，
∴a_na_n+1=a₁a₂·3^n-1=2·3ⁿ，
∴a₃=

=6，a₄=

=9，
a₅=

=18，a₆=

=27.
（2）证明 ∵{a_na_n+1}是公比为3的等比数列，
∴a_na_n+1=3a_n-1a_n，即a_n+1=3a_n-1，
∴a₁，a₃，a₅,…，a_2n-1，…与a₂,a₄,a₆，…，a_2n，…都是公比为3的等比数列.
∴a_2n-1=2·3^n-1,a_2n=3·3^n-1，
∴b_n=a_2n-1+a_2n=5·3^n-1.
∴

=

=3，故{b_n}是以5为首项，3为公比的等比数列.

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}中，a1=2,a2=3,且{.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。