设数列{an}的前n项和Sn=2an-2n.求a3，a4；证明：{an+1-2an}是等比数列；求{an}的通项公式.

题文

设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ.
（1）求a₃，a₄；
（2）证明：{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）求{a_n}的通项公式. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a₃=16,S₃=24,a₄=40（2）证明见解析（3）a_n= (n+1)·2^n-1

解析

(1)解 因为a₁=S₁,2a₁=S₁+2,所以a₁=2,S₁=2.
由2a_n=S_n+2ⁿ知2a_n+1=S_n+1+2ⁿ⁺¹=a_n+1+S_n+2ⁿ⁺¹,
得a_n+1=S_n+2ⁿ⁺¹.                                                ①
所以a₂=S₁+2²=2+2²=6,S₂=8,
a₃=S₂+2³=8+2³=16,S₃=24,a₄=S₃+2⁴=40.
(2)证明 由题设和①式知
a_n+1-2a_n=(S_n+2ⁿ⁺¹)-(S_n+2ⁿ)=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ,
所以{a_n+1-2a_n}是首项为2,公比为2的等比数列.
(3)解  a_n=(a_n-2a_n-1)+2(a_n-1-2a_n-2)+…+2^n-2(a₂-2a₁)+2^n-1a₁=(n+1)·2^n-1.

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和Sn=2an-2.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。