设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5; S3，S4的等差中项为1，求数列{an}的通项公式.

题文

设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知

S₃，

S₄的等比中项为

S₅;

S₃，

S₄的等差中项为1，求数列{a_n}的通项公式. 题型：未知 难度：其他题型

答案

a_n=1或a_n=

解析

方法一 设等差数列{a_n}的首项a₁=a，公差为d，
则S_n=na+

d，依题意，有



整理得


∴a=1，d=0或a=4，d=-

.
∴a_n=1或a_n=

，
经检验，a_n=1和a_n=

均合题意.
∴所求等差数列的通项公式为a_n=1或a_n=

.
方法二 因S_n是等差数列的前n项和，易知数列

是等差数列.依题意得


解得

或


由此得a₄=S₄-S₃=1，a₅=S₅-S₄=1，
或a₄=-

，a₅=-

，
∴d=0或d=-

.
∴a_n=a₄+（n-4）×0=1
或a_n=a₄+（n-4）×(-

)=

-

n.
故所求等差数列的通项公式a_n=1或a_n=

-

n.

考点

据考高分专家说，试题“设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。