设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn="2" an－3n .求证{ an+3}是等比数列求数列{an}

题文

（本小题满分12分）
设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n="2" a_n－3n .
（1）求证{ a_n+3}是等比数列


 （2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n . 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）令n=1,S₁=2a₁－3. ∴a₁ ="3  " 又S_n+1=2a_n+1－3(n+1), S_n=2a_n－3n,两式相减得，
a_n+1 =2a_n+1－2a_n－3，则a_n+1 =2a_n+3    （2）{ a_n+3}是公比为2的等比数列．则
a_n+3=（a₁+3）·2^n－1=6·2^n－1， ∴a_n =6·2^n－1－3 . （3）

解析

略

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设数列{an}的前n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。