在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图像上，且．求证：数列是等比数列，并求出其通项；若数列的前项和为，且，求．

题文

在各项均为负数的数列

中，已知点

在函数

的图像上，且

．
（Ⅰ）求证：数列

是等比数列，并求出其通项；
（Ⅱ）若数列

的前

项和为

，且

，求

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

.

解析

本题考查等比数列的概念、通项，等比数列和等差数列的求和。高考对数列的考查难度在下降，其考查的重点转变为考查数列中的基本问题、两类基本数列，以及数列求和方面。解决两类基本数列问题的一个重要思想是基本量方法，即通过列出方程或者方程组求出等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比。数列求和要掌握好三个方法，一个是本题使用的分组求和，第二个是错位相减法，第三个是裂项求和法。（1）把点的坐标代入直线方程，根据等比数列的定义进行证明，显然公比是

，再根据条件

求出首项即可求出这个数列的通项公式；（2）数列

是一个等比数列和一个等差数列的对应项的和组成的数列，分别求和即可。
解：（1）因为点

在函数

的图像上，所以

故数列

是公比

的等比数列因为

由于数列

的各项均为负数，则

所以

…………．6分
（2）由（1）知，

，所以

…12分

考点

据考高分专家说，试题“在各项均为负数的数列中，已知点在函数的图.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。