已知数列的前项和满足.写出数列的前三项；求数列的通项公式；证明：对任意的整数，有.

题文

已知数列

的前

项和

满足

.
（1）写出数列

的前三项

；
（2）求数列

的通项公式；
（3）证明：对任意的整数

，有

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（１） 由

由


由


（２）


（３）见解析.

解析

.
（1）因为数列

的前

项和

满足

，那么对于n令值，边可以写出数列

的前三项

；
（2）根据前几项归纳猜想数列

的通项公式；再用数学归纳法加以证明。或者里利用迭代思想

，得到通项公式。
（3）利用放缩法得到求和，并证明不等式。
（１）为了计算前三项

的值，只要在递推式

中，对

取特殊值

，就可以消除解题目标与题设条件之间的差异．
由


由


由


（２）为了求出通项公式，应先消除条件式中的

．事实上
当

时，有


 
即有


从而





…… 



接下来，逐步迭代就有






经验证a₁也满足上式，故知


其实，将关系式

和课本习题

作联系，容易想到：这种差异的消除，只要对

的两边同除以

，便得


．
令

就有


，
于是        

，
这说明数列

是等比数列，公比

首项

，从而，得


，
即

，
故有


（３）由通项公式得


当

且n为奇数时， 





当

为偶数时，








当

为奇数时，

为偶数，可以转化为上面的情景



故任意整数m>4，有

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的前项和满足.（1）写出数列的前.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。