设关于的一元二次方程有两根，且满足试用表示求证：是等比数列当时，求数列的通项公式

题文

（本小题12分）设关于

的一元二次方程

有两根


，且满足


（1）试用

表示


（2）求证：

是等比数列
（3）当

时，求数列

的通项公式 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）见解析；（3）

解析

本试题主要是考查了根与系数的关系以及数列的定义和数列的通项公式的求解的综合运用。
（1）因为由题意结合韦达定理可知，

 代入题设条件


得

得到

，构造等比数列求解得到。
（2）由于

，故


所以

是以

为公比的等比数列
（3）当

时，


故数列

是以首项为

，公比为

的等比数列
从而得到表达式。
解：（1）

 代入题设条件


得


故


（2）由于

，故


所以

是以

为公比的等比数列
（3）当

时，


故数列

是以首项为

，公比为

的等比数列

考点

据考高分专家说，试题“（本小题12分）设关于的一元二次方程有两.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。