设数列对任意正整数n都成立，m为大于—1的非零常数。求证是等比数列；（2设数列求证：

题文

（本小题满分12分）
设数列

对任意正整数n都成立，m为大于—1的非零常数。
（1）求证

是等比数列；
（2设数列








求证：

题型：未知 难度：其他题型

答案

见解析。

解析

（1）根据

   ①


   (2)，作差法得到其递推关系式，进而分析得到结论。
（2） 由（1）知

，得到

，表示出通项公式，进而求和。
（1）证明：由已知：

   ①


     ②
由①—②得


又∵m为大于—1的非零常数  


故

是等比数列。  ………………6分
（2）解：当n=1时，


由（1）知





点评：解决该试题的关键是能利用通项公式与前n项和的关系式，来得到通项公式。同时利用递推关系整体的思想得到

，同时裂项法得到求和。

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设数列对任意正整数n.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。