题文
各项均为正数的等比数列
，
，
，单调增数列
的前
项和为
，
，且
（
）．
（Ⅰ）求数列
、
的通项公式；
（Ⅱ）令
（
），求使得
的所有
的值，并说明理由．
（Ⅲ) 证明
中任意三项不可能构成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）
，
（Ⅱ）所有
的值为1，2，3，4，理由见解析（Ⅲ)证明见解析
解析
（Ⅰ）设等比数列
的公比为
，
∵
=
，
，
=4，
∵
，∴
，∴
. ……3分
∴
∵
+2 ①
当
时，
+2 ②
①-②得
，即
，
∵
∴
=3，
∴
是公差为3的等差数列．
当
时，
+2，解得
=1或
=2，
当
=1时，
，此时
=7，与
矛盾；
当
时
，此时此时
=8=
，
∴
． ……6分
（Ⅱ）∵
，∴
＝
，
∴
=2>1，
=
＞1，
,
，
，
下面证明当
时，
事实上，当
时，
＝
＜0
即
，∵
， ∴当
时，
，
故满足条件
的所有
的值为1，2，3，4． ……11分
(Ⅲ)假设
中存在三项
(
,
∈N*)使
构成等差数列，
∴
，即
，∴
．
因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．
∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列． ……16分
点评：等差数列和等比数列是两类最重要的数列，它们的基本量的运算要灵活掌握，另外，探索性问题通常都是先假设成立，再根据题意求解，如果求出符合要求的值就是存在的，如果求不出符合要求的解，就不存在.
考点
据考高分专家说，试题“各项均为正数的等比数列，，，单调增数列的.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
