在数和之间插入个实数,使得这个数构成递增的等比数列,将这个数的乘积记为,令,N.(1)求数列的前项和；(2)求.

题文

（本小题满分14分）
在数

和

之间插入

个实数,使得这

个数构成递增的等比数列,将这

个数的乘积记为

,令

,

N

.
(1)求数列

的前

项和

；
(2)求

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1)




(2)

解析

（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前

项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）
(1)解法1:设

构成等比数列,其中

,
依题意,

,    ①                …………… 1分


,    ②                …………… 2分
由于

,    …………… 3分
①

②得



.…………… 4分
∵

,
∴

.              ………… 5分
∵

,        ………… 6分
∴数列

是首项为

,公比为

的等比数列.        …………… 7分
∴



.        …………… 8分
解法2: 设

构成等比数列,其中

,公比为

,
则

,即

.               ………… 1分
依题意,得




          ………… 2分


            ……… 3分


                         …… 4分


.                          ……… 5分
∵

,                   ………… 6分
∴数列

是首项为

,公比为

的等比数列.         …………… 7分
∴



. …………… 8分
(2)解: 由(1)得



,              …………… 9分
∵

,     ……………10分
∴

,

N

.   ……………11分
∴













.                          …………… 14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分14分）在数和之间插入个实数.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。