已知数列中，求数列的通项；求数列的前项和；若存在，使得成立，求实数的最小值.

题文

已知数列

中，


（Ⅰ）求数列

的通项

；
（Ⅱ）求数列

的前

项和

；
（Ⅲ）若存在

，使得

成立，求实数

的最小值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

.
（Ⅱ）

.
（Ⅲ）

的最小值是

.

解析

（Ⅰ）

，

①


，

②
①-②：

，

，        2分
即

（

），又

=2，


时，数列

是以2为首项，3为公比的等比数列.


，故

           4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当

时，

，


当

时，

；
当

时,

,①


,②
①-②得，


=

 
=




，又

也满足


               9分
（Ⅲ）

，由（Ⅰ）可知：
当

时，

，令

，
则

，
又

，∴


∴当

时，

单增，∴

的最小值是


而

时，

，综上所述，

的最小值是


∴

，即

的最小值是

         13分
点评：难题，为确定等差数列、等比数列的通项公式，往往通过建立相关元素的方程组，而达到目的。数列的求和问题，往往涉及“公式法”“分组求和法”“裂项相消法”“错位相减法”等。涉及不等式恒成立问题，通过放缩、求和等，得到最值。

考点

据考高分专家说，试题“已知数列中，（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。