已知为等差数列的前项和，且.求数列的通项公式；求数列的前项和公式.

题文

已知

为等差数列

的前

项和，且

.
（Ⅰ）求数列

的通项公式；
（Ⅱ）求数列

的前

项和公式. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

；（Ⅱ）数列

的前

项和

.

解析

（1）求等差数列

的通项公式，一般是将问题中涉及的等式用首项

和公差

的方程组表示出来并求解，然后利用等差数列的通项公式

即可求出等差数列

的通项公式；（2）在对数列

利用公式求前

项和时，一般先利用定义法判断它是等差数列还是等比数列，然后再借助相应的公式即可求出数列

的前

项和.
试题解析：解（Ⅰ）设等差数列

的公差为

，
因为


所以


解得


所以

                 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知

，令


则

，
又


所以

是以4为首项，4为公比的等比数列，
设数列

的前

项和为


则


13分

项和

考点

据考高分专家说，试题“已知为等差数列的前项和，且.（Ⅰ）求数列.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。