题文
已知函数
，设曲线
在点
处的切线与
轴的交点为
，其中
为正实数．
（1）用
表示
；
（2）
,若
，试证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
（3）若数列
的前
项和
，记数列
的前
项和
，求
． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）证明见解析，
；（3）
．
解析
（1）直接利用导数得出切线斜率，写出点
处切线方程，在切线方程中令
，就可求出切线与
轴交点的横坐标即
；（2）要证明数列
为等比数列，关键是找到
与
的关系，按题设，它们由
联系起来，
，把
用（1）中的结论
代换，变为
的式子，它应该与
是有联系的，由此就可得出结论；（3）按照要求，首先求出数列
的通项公式，当然要利用
（
），
直接等于
，数列
实际上是一个等差数列，那么数列
就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项相乘得到的新数列，其前
项的求法是乘公比错位相减法，即
，记等比数列
的公比是
，则有
，两式相减，即
，这个和是容易求得的．
试题解析：（1）由题可得
，所以在曲线上点
处的切线方程为
，即
令
，得
，即
由题意得
，所以
5′
（2）因为
，所以
即
，
所以数列
为等比数列故
10′
（3）当
时，
，当
时，
所以数列
的通项公式为
，故数列
的通项公式为
①
①
的
②
①
②得
故
16′
考点
据考高分专家说，试题“已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
