设数列的前项和为，且，．求数列的通项公式；设，求数列的前项和．

题文

设数列

的前

项和为

，且

，

．
（Ⅰ）求数列

的通项公式；
（Ⅱ）设

，求数列

的前

项和

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析

（Ⅰ）由

可递推一个

.两式相减即可得到数列

的通项公式.在验证第一项是否符合即可.本小题的易错点是前n项和指的是

.（Ⅱ）由第一步求出

再求出

.根据所得的

的通项式，是一个等差数列和一个等比数列相乘的形式.因此

的前n项和利用错位相减法即可求得.本题属于数列的题型中较基础的题目，应用了解决数列的常用手段递推一项和错位相减法求数列的前n项和.但是计算不简单.
试题解析：(I)由题意得


=

            ①




 ②
①-②得



所以

       4分
经验证

时也满足上式，所以

    6分
(II) 由（1）得

，



两式相减得 

       8分


，


       12分

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求数列的通.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。