题文
数列
的首项为
（
），前
项和为
，且
（
）．设
，
（
）．
（1）求数列
的通项公式；
（2）当
时，若对任意
，
恒成立，求
的取值范围；
（3）当
时，试求三个正数
，
，
的一组值，使得
为等比数列，且
，
，
成等差数列． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
；（2）
；（3）
，
，
．
解析
（1）要求数列
的通项公式，已知的是
，这种条件的应用一般是把
用
代换得
，然后两式相减就可把
的递推关系转化为
的递推关系，但要注意这个递推关系中一般不含有
，必须另外说明
与
的关系；（2）
时，
，
，那么不等式
就是
，请注意去绝对值符号的方法是两边平方，即
等价于
，这个二次的不等式对
恒成立，变形为
，然后我们分析此不等式发现，当
时，不可能恒成立；
时，不等式恒成立；当
时，不等式变为
，可分类（
）分别求出
的范围，最后取其交集即得；（3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当
时，
，
，
，最后用分组求和法求出
，
根据等比数列的通项公式的特征一定有
，再加上三个正数
，
，
成等差数列，可求出
，
，
，这里考的就是计算，小心计算．
试题解析：（1）因为
①
当
时，
②，
①—②得，
（
）， （2分）
又由
，得
， （1分）
所以，
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
（
）． （1分）
（2）当
时，
，
，
， （1分）
由
，得
，
（*） （1分）
当
时，
时，（*）不成立；
当
时，（*）等价于
（**）
时，（**）成立．
时，有
，即
恒成立，所以
．
时，有
，
．
时，有
，
． （3分）
综上，
的取值范围是
． （1分）
（3）当
时，
，
， （1分）
， （2分）
所以，当
时，数列
是等比数列，所以
（2分）
又因为
，
，
成等差数列，所以
，即
，
解得
． （1分）
从而，
，
． （1分）
所以，当
，
，
时，数列
为等比数列． （1分）
考点
据考高分专家说，试题“数列的首项为（），前项和为，且（）．设，.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
