题文
数列{
}的前n项和为
，
．
（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）若
，
．求不超过
的最大整数的值. 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
.
解析
（Ⅰ） 由
，令
可求
，
时，利用
可得
与
之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ） 由（Ⅰ）可求
，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求
，进而可求
，代入P中利用裂项求和即可求解
试题解析：解:(Ⅰ) 因为
，
所以 ① 当
时，
，则
， .（1分）
② 当
时，
， .（2分）
所以
，即
，
所以
，而
， .（3分）
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
． .（4分）
（Ⅱ） 由(Ⅰ)得
．
所以 ①
②
.（6分）
②-①得：
.（7分）
（8分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知
（9分）
而
， （11分）
所以
，
故不超过
的最大整数为
． （14分） .
考点
据考高分专家说，试题“数列{}的前n项和为，．（Ⅰ）设，证明：.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
