各项均为正数的等比数列中，求数列通项公式；若等差数列满足，求数列的前项和。

题文

各项均为正数的等比数列

中，


（Ⅰ）求数列

通项公式；
（Ⅱ）若等差数列

满足

，求数列

的前

项和

。 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）

；（Ⅱ）

．

解析

（Ⅰ）求数列

通项公式，由题意，

是各项均为正数的等比数列，故求出

即可，根据

，利用等比数列的通项公式，求出公比，从而可得数列

的通项公式；（Ⅱ）求数列

的前项

和

，首先确定数列

的通项公式，即先确定等差数列

的通项公式，由（Ⅰ）知，

，利用

，可求得，

，从而可得，

，这是一个等差数列与一个等比数列对应项积所组成的数列，故可利用利用错位相减法，可求数列

的前

项和

．
试题解析：（Ⅰ）由题意知，q>0,2q+q²=15， 解得q=3(q=-5不合题意舍去)      (2分)
∴a_n=3^n-1                     （4分）
（Ⅱ）设等差数列{b_n}的公差为d,则b₁=3,b₁+2d=9,∴d=3,
b_n=3+3(n-1)=3n       （7分）
a_nb_n=n·3ⁿ
∴S_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+(n-1)×3^n-1+n×3ⁿ
3S_n=1×3²+2×3³+…+(n-1)×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹
两式相减得
-2S_n=3¹+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹                (9分)
=

(3ⁿ-1)-n×3ⁿ⁺¹                              （11分）


                             （12分）

考点

据考高分专家说，试题“各项均为正数的等比数列中，（Ⅰ）求数列通.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。