设数列的前项和为，，．证明：数列是公比为的等比数列的充要条件是．

题文

设数列

的前

项和为

，

，

．证明：数列

是公比为

的等比数列的充要条件是

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明见解析

解析

要解决这个问题,首先要分清楚必要性和充分性.
由数列

的前

项和为

，

，

,数列

是公比为

的等比数列

 

．
说明:“数列

是公比为

的等比数列”的必要条件是：“

”
由“数列

的前

项和

”

“数列

是等比数列”
说明“数列

是公比为

的等比数列”的充分条件是：“

”
前者其实就是等比数列前

项和公式推导过程的一部分；后者由

求出

的表达式 ，再紧扣等比数列的定义得出结论.
试题解析：证明：(1)必要性：
∵数列

是公比为

的等比数列
∴




      ①          2分
①式两边同乘

，得


     ②           4分
①-②，得


                               6分
∵


∴

                                  7分
(2)充分性：
由

，得

          8分
∴


即

                               10分
∵

也适合上式
∴

                                       12分
∵


∴当

时，


∴数列

是公比为

的等比数列                    14分

 与

的关系.

考点

据考高分专家说，试题“设数列的前项和为，，．证明：数列是公比为.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。