设数列满足前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.

题文

设数列

满足前

项和

.
(1)求数列

的通项公式；
(2)求数列

的前

项和

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）

.

解析

（1）由于数列的和与通项在一个等式中，通过递推一个式子即可得到关于通项的等式，从而发现是一个等比数列，但一定要验证第一项的结果是否符合；（2）由（1）可得

，从而

，采用分组求和法：

是等差数列，用等差数列的求和公式进行计算，而

是一个等差与一个等比的乘积，故采用错位相减法求和，最后两个和之差即可得到数列

的前

项和.
试题解析：（1）当

时，

，所以

             1分
当

时，由

知


所以

即

，也就是

         3分
所以数列

的通项公式为

                    5分
（2）由（1）可知

，所以

              6分
则数列

的前

项和




            8分
两式相减，得




               11分
所以数列

的前

项和

           12分.

项和的计算.

考点

据考高分专家说，试题“设数列满足前项和.(1)求数列的通项公式.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。