已知是等比数列的前项和,、、成等差数列,且.求数列的通项公式；是否存在正整数,使得?若存在,求出符合条件的所有的集合；若不存在，说明理由.

题文

已知

是等比数列

的前

项和,

、

、

成等差数列,且

.
（1）求数列

的通项公式；
（2）是否存在正整数

,使得

?若存在,求出符合条件的所有

的集合；若不存在，说明理由. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）

；（2）存在符合条件的正整数

的集合为

.

解析

（1）设数列

的公比为

，依题意，列出关于首项

与公比

的方程组，解之即可求得数列

的通项公式；（2）依题意，可得

，对

的奇偶性进行分类讨论，即可求得答案.
试题解析：（1）解：设数列

的公比为

,则

,


由题意得

即

解得


故数列

的通项公式为

                  6分
（2）由（1）有

                                    7分
若存在

,使得

,则

,即

                      8分
当

为偶数时,

,上式不成立                                            9分
当

为奇数时,

,即

,则

                          11分
综上,存在符合条件的正整数

的集合为

                    12分.

考点

据考高分专家说，试题“已知是等比数列的前项和,、、成等差数列,.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。