已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得≥1？若存在，求m的最小值；若

题文

已知等比数列{a_n}满足：|a₂－a₃|＝10，a₁a₂a₃＝125.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得

≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝

·3^n－1或a_n＝－5·(－1)^n－1.（2）不存在

解析

(1)设等比数列{a_n}的公比为q，则由已知可得

 
解得

或


故a_n＝

·3^n－1或a_n＝－5·(－1)^n－1.
(2)若a_n＝

·3^n－1，则

^n－1，
则数列

是首项为

，公比为

的等比数列．
从而

<1.
若a_n＝－5·(－1)^n－1，则

＝－

(－1)^n－1，
故数列

是首项为－

，公比为－1的等比数列，
从而

＝

故

<1.
综上，对任何正整数m，总有

<1.
故不存在正整数m，使得

≥1成立

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}满足：|a2－a3|.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。