已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋1，－an＋1)，n∈N*，p与q垂直，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝log

题文

已知向量p＝(a_n，2ⁿ)，q＝(2^n＋1，－a_n＋1)，n∈N^*，p与q垂直，且a₁＝1.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)若数列{b_n}满足b_n＝log₂a_n＋1，求数列{a_n·b_n}的前n项和S_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）2^n－1（2）S_n＝1＋(n－1)2ⁿ

解析

(1)∵向量p与q垂直，
∴2ⁿa_n＋1－2^n＋1a_n＝0，即2ⁿa_n＋1＝2^n＋1a_n，
∴

＝2，∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n＝2^n－1.
(2)∵b_n＝log₂a_n＋1，∴b_n＝n，∴a_n·b_n＝n·2^n－1，
∴S_n＝1＋2·2＋3·2²＋4·2³＋…＋n·2^n－1，①
∴2S_n＝1·2＋2·2²＋3·2³＋4·2⁴＋…＋n·2ⁿ，②
∴由①－②得，
－S_n＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2^n－1－n·2ⁿ＝

－n·2ⁿ＝(1－n)2ⁿ－1，
∴S_n＝1＋(n－1)2ⁿ.

考点

据考高分专家说，试题“已知向量p＝(an，2n)，q＝(2n＋.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。