已知数列{an}成等比数列，且an＞0.(1)若a2－a1＝8，a3＝m.①当m＝48时，求数列{an}的通项公式；②若数列{an}是唯一的，求m的值；(2)若

题文

已知数列{a_n}成等比数列，且a_n＞0.
(1)若a₂－a₁＝8，a₃＝m.①当m＝48时，求数列{a_n}的通项公式；②若数列{a_n}是唯一的，求m的值；
(2)若a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－(a_k＋a_k－1＋…＋a₁)＝8，k∈N^*，求a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）32

解析

设公比为q，则由题意，得q＞0.
(1)①由a₂－a₁＝8，a₃＝m＝48，得


解之，得

或

 
所以数列{a_n}的通项公式为
a_n＝8(2－

)(3＋

)^n－1，或a_n＝8(2＋

)(3－

)^n－1.
②要使满足条件的数列{a_n}是唯一的，即关于a₁与q的方程组

有唯一正数解，即方程8q²－mq＋m＝0有唯一解．
由Δ＝m²－32m＝0，a₃＝m＞0，所以m＝32，此时q＝2.
经检验，当m＝32时，数列{a_n}唯一，其通项公式是a_n＝2^n＋2.
(2)由a_2k＋a_2k－1＋…＋a_k＋1－(a_k＋a_k－1＋…＋a₁)＝8，
得a₁(q^k－1)(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)＝8，且q＞1.
a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k＝a₁q^2k(q^k－1＋q^k－2＋…＋1)＝

＝8


≥32，
当且仅当q^k－1＝

，即q＝

，a₁＝8(

－1)时，
a_2k＋1＋a_2k＋2＋…＋a_3k的最小值为32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}成等比数列，且an＞0......”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。