题文
已知各项均为正数的数列
满足
, 且
,其中
.
(1) 求数列
的通项公式；
(2) 设数列
满足
,是否存在正整数
，使得
成等比数列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，请说明理由。
(3) 令
,记数列
的前
项和为
,其中
,证明：
。 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）
（2）存在且
，
解析
（1）利用十字相乘法分解
，得到关于
的递推式，证得数学
为等比数列且可以知道公比，则把公比带入式子
就可以求出首项，进而得到
的通项公式.
（2）由第一问可得
的通项公式带入
可
的通项公式，结合
成等比数列，满足等比中项，得到关于m,n的等式，借助m,n都为正整数，利用等式两边的范围求出n,m的范围等到m,n的值.
（3）由（1）得
，带入
得到
，由于要得到钱n项和
，故考虑把
进行分离得到
，进而利用分组求和和裂项求和求的
，观察
的单调性，可得到
与
都关于n单调递减，进而得到
关于n是单调递增的，则有
，再根据
的非负性，即可得到
，进而证明原式.
试题解析：
(1) 因为
,即
1分
又
,所以有
,即
所以数列
是公比为
的等比数列. 2分
由
得
,解得
。 3分
从而，数列
的通项公式为
。 4分
(2)
=
，若
成等比数列，则
， 5分
即
．由
，可得
， 6分
所以
，解得：
。 7分
又
，且
，所以
，此时
．
故当且仅当
，
.使得
成等比数列。 8分
(3)
10分
∴
12分
易知
递减，∴0＜
13分
∴
，即
14分
考点
据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的数列满足, 且,其中......”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2；
（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；
（3）若公比为q，则｛
｝是以
为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；
2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列；
3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；
4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列；
5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明
是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
