已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1＝2，Sn为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an

题文

已知各项均为正数的等比数列{a_n}的首项a₁＝2，S_n为其前n项和，若5S₁，S₃，3S₂成等差数列．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n＝log₂a_n，c_n＝

，记数列{c_n}的前n项和T_n.若对n∈N^*，T_n≤k(n＋4)恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝2ⁿ（2）

解析

(1)设数列{a_n}的公比为q，∵5S₁，S₃，3S₂成等差数列，
∴2S₃＝5S₁＋3S₂，即2(a₁＋a₁q＋a₁q²)＝5a₁＋3(a₁＋a₁q)，
化简得2q²－q－6＝0，解得q＝2或q＝－

.
因为数列{a_n}的各项均为正数，所以q＝－

不合题意，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝2ⁿ.
(2)由b_n＝log₂a_n得b_n＝log₂2ⁿ＝n，
则c_n＝

＝

＝

－

，
T_n＝1－

＋

－

＋…＋

－

＝1－

＝

.
∵

≤k(n＋4)，∴k≥

＝

.
∵n＋

＋5≥2

＋5＝9，当且仅当n＝

，即n＝2时等号成立，
∴

≤

，因此k≥

，故实数k的取值范围为

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的等比数列{an}的首项.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。