已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1；数列{bn}满足bn－1－bn＝bnbn－1(n≥2，n∈N*)，b1＝1.(1)求数列{an}，{bn}

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n－1；数列{b_n}满足b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，b₁＝1.
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)求数列

的前n项和T_n. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝2^n－1，b_n＝

（2）(n－1)·2ⁿ＋1.

解析

(1)由S_n＝2a_n－1，得S₁＝2a₁－1，∴a₁＝1.
又S_n＝2a_n－1，S_n－1＝2a_n－1－1(n≥2)，
两式相减，得S_n－S_n－1＝2a_n－2a_n－1，a_n＝2a_n－2a_n－1.
∴a_n＝2a_n－1，n≥2.∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴a_n＝1·2^n－1＝2^n－1.
由b_n－1－b_n＝b_nb_n－1(n≥2，n∈N^*)，得

－

＝1.
又b₁＝1，∴数列

是首项为1，公差为1的等差数列．
∴

＝1＋(n－1)·1＝n.∴b_n＝

.
(2)由(1)可知

＝n·2^n－1，
∵T_n＝1·2⁰＋2·2¹＋…＋n·2^n－1，∴2T_n＝1·2¹＋2·2²＋…＋n·2ⁿ.
两式相减，得－T_n＝1＋2¹＋…＋2^n－1－n·2ⁿ＝

－n·2ⁿ＝－1＋2ⁿ－n·2ⁿ.
∴T_n＝(n－1)·2ⁿ＋1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。