已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan－2对

题文

已知等比数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n＞ka_n－2对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n＝3·2^n－1，n∈N^*（2）

解析

(1)设等比数列{a_n}的公比为q，
∵a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，∴a₂＋a₁＝9，a₃＋a₂＝18，
∴q＝

＝2，∴2a₁＋a₁＝9，∴a₁＝3.∴a_n＝3·2^n－1，n∈N^*.
(2)由(1)知S_n＝

＝3(2ⁿ－1)，
∴3(2ⁿ－1)＞k·3·2^n－1－2，∴k＜2－

.
令f(n)＝2－

，则f(n)随n的增大而增大，
∴f(n)_min＝f(1)＝2－

＝

.∴k＜

.
∴实数k的取值范围为

.

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。