已知数列{an}的相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2－2nx＋bn＝0的两根，且a1＝1.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；

题文

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n＋1是关于x的方程x²－2ⁿx＋b_n＝0的两根，且a₁＝1.
(1)求证：数列

是等比数列；
(2)求数列{a_n}的前n项和S_n；
(3)设函数f(n)＝b_n－t·S_n(n∈N^*)，若f(n)＞0对任意的n∈N^*都成立，求t的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）

（3）t＜1

解析

(1)∵a_n＋a_n＋1＝2ⁿ，∴a_n＋1－

·2^n＋1＝－

，


＝－1，∴

是等比数列，
又a₁－

＝

，q＝－1，∴a_n＝

 [2ⁿ－(－1)ⁿ]．
(2)由(1)得S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n
＝

 (2＋2²＋…＋2ⁿ)－

 [(－1)＋(－1)²＋…＋(－1)ⁿ]＝


＝


(3)∵b_n＝a_n·a_n＋1，
∴b_n＝

[2ⁿ－(－1)ⁿ][2^n＋1－(－1)^n＋1]＝

[2^2n＋1－(－2)ⁿ－1]，∴b_n－t·S_n＞0，
∴

[2^2n＋1－(－2)ⁿ－1]－t·

＞0，∴当n为奇数时，


(2^2n＋1＋2ⁿ－1)－

(2^n＋1－1)＞0，∴t＜

 (2ⁿ＋1)对任意的n为奇数都成立，∴t＜1.
∴当n为偶数时，


(2^2n＋1－2ⁿ－1)－

(2^n＋1－2)＞0，
∴

 (2^2n＋1－2ⁿ－1)－

 (2ⁿ－1)＞0，
∴t＜

 (2^n＋1＋1)对任意的n为偶数都成立，∴t＜

.
综上所述，t的取值范围为t＜1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的相邻两项an，an＋1.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。