在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求证：数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证：不等式

题文

在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝4a_n－3n＋1，n∈N^*.
(1)求证：数列{a_n－n}是等比数列；
(2)求数列{a_n}的前n项和S_n；
(3)求证：不等式S_n＋1≤4S_n对任意n∈N^*皆成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析（2）

（3）见解析

解析

(1)证明：由题设a_n＋1＝4a_n－3n＋1，得a_n＋1－(n＋1)＝4(a_n－n)，n∈N^*.又a₁－1＝1，所以数列{a_n－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)解：由(1)可知a_n－n＝4^n－1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n＝4^n－1＋n，所以数列{a_n}的前n项和S_n＝

.
(3)证明：对任意的n∈N^*，S_n＋1－4S_n＝

＝－

 (3n²＋n－4)≤0，所以不等式S_n＋1≤4S_n对任意n∈N^*皆成立．

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。