等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求n和公比q的值．

题文

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＋a_n＝66，a₂a_n－1＝128，S_n＝126，求n和公比q的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

或

解析

解法1：在等比数列{a_n}中，a₁a_n＝a₂a_n－1＝128.
又a₁＋a_n＝66，∴

 解得

或

∴q≠1.
由a_n＝a₁q^n－1和S_n＝

＝1

，
得

或

解得

或


解法2：当q＝1时，经检验不合适，由题意可得

 
由②可得q^n－1＝

，代入①，得a₁

＝66，化简得

－66a₁＋128＝0，解得a₁＝2或a₁＝64.当a₁＝2时，代入①，得q^n－1＝32，将a₁＝2和q^n－1＝32代入③，得

＝126，解得q＝2.又q^n－1＝32，即2^n－1＝32＝2⁵，∴n＝6.
同理，当a₁＝64时，可解得q＝

，n＝6.
综上所述，n的值为6，q＝2或

.

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。