已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋1，设bn＝an＋1－2an.证明：数列{bn}是等比数列．

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁＝1，S_n＋1＝4a_n＋1，设b_n＝a_n＋1－2a_n.证明：数列{b_n}是等比数列． 题型：未知 难度：其他题型

答案

见解析

解析

由于S_n＋1＝4a_n＋1，① 当n≥2时，S_n＝4a_n－1＋1.②
①－②，得a_n＋1＝4a_n－4a_n－1.
所以a_n＋1－2a_n＝2(a_n－2a_n－1)．
又b_n＝a_n＋1－2a_n，所以b_n＝2b_n－1.因为a₁＝1，且a₁＋a₂＝4a₁＋1，即a₂＝3a₁＋1＝4.所以b₁＝a₂－2a₁＝2，故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。