已知数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,且对任意的,都有.若{bn }的首项为4,公比为2,求数列{an+bn}的前n项和Sn;若，试探

题文

已知数列{a_n}是等差数列,数列{b_n}是等比数列,且对任意的

,都有



.
（1）若{b_n }的首项为4,公比为2,求数列{a_n+b_n}的前n项和S_n;
（2）若

 ，试探究:数列{b_n}中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它

项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）



 

 ；（2）不存在.

解析

对任意的

,都有



.
所以



(

 )两式相减可求

 

 
（1）由于等比数{b_n }的首项为4,公比为2,可知

 ,于是可求得

 ,
再将数列{a_n+b_n}的前n项和拆分为等差数列{a_n}的前

项和与等比数列

的前

 项和之和.
（2）由

,

 

 

 

 假设存在一项

 ,可表示为

 
一方面,

 ,另一方面,




 
两者相矛盾K值不存在.
试题解析：
解:（1）因为

,所以当

时,


,
两式相减,得

,
而当n=1时,

,适合上式,从而

,3分
又因为{b_n}是首项为4,公比为2的等比数列,即

,所以

，4分
从而数列{a_n+b_n}的前

项和

；6分
（2）因为

，

,所以

，. 8分
假设数列{b_n}中第k项可以表示为该数列中其它

项

的和,即

,从而

,易知

 ,(*) 9分
又

,
所以

,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在． 12分

 项和公式；2、拆项求和.

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是等差数列,数列{bn}.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。