已知数列的各项均满足，，(1)求数列的通项公式；(2)设数列的通项公式是，前项和为，求证：对于任意的正数，总有.

题文

已知数列

的各项均满足

，

，




(1)求数列

的通项公式；
(2)设数列

的通项公式是

，前

项和为

，求证：对于任意的正数

，总有

. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) a_n＝3ⁿ （2）见解析

解析

(1)由

，可知数列

为等比数列，由

，

易知首项为3，公比为3 ，可得通项公式a_n＝3ⁿ．(2)将上题所求代入可知b_n＝

，此种类型的数列用裂项法求前

项和为

＝1－

由不等式易知

．
试题解析：(1)解 由已知得 数列

是等比数列．             2分
因为a₁＝3，

∴a_n＝3ⁿ.                           5分
(2)证明 ∵b_n＝

＝

.                     7分
∴T_n＝b₁＋b₂＋＋b_n＝

＋

＋＋

＝1－

<1.      12分

考点

据考高分专家说，试题“已知数列的各项均满足，，(1)求数列的通.....”主要考查你对 [等比数列的定义及性质 ]考点的理解。 等比数列的定义及性质

等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛a_n｝中，有
（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a_ma_n=a_pa_q；当m+n=2p时，a_ma_n=a_p²；
（2）若m，n∈N*，则a_m=a_nq^m-n；
（3）若公比为q，则｛

｝是以

为公比的等比数列；
（4）下标成等差数列的项构成等比数列；
（5）
1）若a₁＞0，q＞1，则｛a_n｝为递增数列；
2）a₁＜0，q＞1， 则｛a_n｝为递减数列；
3）a₁＞0，0＜q＜1，则｛a_n｝为递减数列；
4）a₁＜0， 0＜q＜1， 则｛a_n｝为递增数列；
5）q＜0，则｛a_n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a_n｝为常数列。

等差数列和等比数列的比较： 

如何证明一个数列是等比数列：

证明一个数列是等比数列，只需证明

是一个与n无关的常数即可（或a_n²=a_n-1a_n+1）。